Linear Equations in Linear Algebra 1-1~1-2

Disclaimer : 본 문서는 "Linear Algebra and Its Applications, 3rd Ed., D. C. Lay"를 기반으로 inflearn에서 '조범희' 강사님이 강의하신 선형대수학개론을 바탕으로 작성하였습니다.

1-1. Systems of Linear Equations

• 선형방정식 : \( a_1x_1+a_2x_2+....+a_nx_n=b \)
• 선형방정식으로 이루어진 시스템은 하나 이상의 선형 방정식의 집합이다.
• 해집합이란, 선형 시스템에서 가능한 모든 솔루션의 집합이다.
  • 상등(equivalent) : 두 시스템이 동일한 솔루션 집합을 공유한다.
  • 불일치(inconsistent)
    • 솔루션 없음.
  • 일치(consistent)
    • 정확히 한 개의 솔루션이 존재하거나,
    • 무한히 많은 솔루션이 존재.
• 하나의 행렬이 열간 연산을 통해 다른 행렬과 동일해질 수 있을때 두 행렬이 '행 상등(row equivalent)'하다.
  • replacement : 행간 연산
  • interchange : 행간 위치 바꿈
  • scaling : 행의 값을 변환
• 두 선형방정식 계의 첨가 행렬(augmented matrix)이 '행 상등'이라면 두 계는 동일한 해 집합을 공유한다.

1-2. Row Reduction and Echelon Forms

• Echelon form
  • 가장 먼저 나오는 행이 가장 왼쪽에서 0이 아닌 값을 가질 때
  • 0이 아닌 값들로 이루어진 행들은 모두 0으로 이루어진 행보다 위에 존재하며,
  • 행에서 가장 먼저 등장하는 값은 바로 위 위 행에서 가장 먼저 등장하는 값의 우측 열에 존재한다.
• Reduced Echelon form
  • Echelon form에서 두 개의 조건이 추가된다.
  • 0이 아닌 값으로 이루어진 행에서 가장 먼저 등장하는 값(leading entry)이 1이다.
  • 열을 기준으로, 가장 먼저 등장하는 1은 그 열에서 유일하게 0이 아닌 값이다.
• 이때 leading entry의 위치를 pivot position이라고 한다.

Theorem 1. Uniqueness of the Reduced Echelon Form

각 행렬과 row equivalent한 reduced echelon form는 반드시 하나만 존재한다.

Forward Phase

Backward Phase

Theorem 2. Existence and Uniqueness Theorem

각 행렬은 첨가 행렬의 최우측 열이 pivot 열이 아닐 때에만 해를 가진다. 즉, augmented matrix에 echelon form을 취했을 때 [ 0 0 ... 0 b ]이면서 b가 0이 아닌 행이 존재하지 않아야 한다는 것이다.
만약 선형계가 consistent하다면, 해당 해집합은 (i) free variable 없이 단일 해를 가지거나, (ii) 1개 이상의 free variable이 존재하여 무한히 많은 해를 가지게 된다.